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      一 、漸開線的形成

      如圖6.2a所示,一條直線nn沿一個半徑為rb的圓的圓周作純滾動,該直線上任一點K的軌跡AK稱為該圓的漸開線。這個圓稱為基圓 ,該直線稱為漸開線的發生線。漸開線上任一點K的向徑OK與起始點A的向徑OA的夾角∠AOK(∠AOK=?K)稱為漸開線(AK段)的展角。

      漸開線的形成

      二、 漸開線的性質

      根據漸開線的形成,可知漸開線具有如下性質:

      (1)發生線在基圓上滾過的長度等于基圓上被滾過的弧長,即NK=   ;

      (2)因為發生線在基圓上作純滾動,所以它與基圓的切點N就是漸開線上K點的瞬時速度中心,發生線NK就是漸開線在K點的法線,同時它也是基圓在N點的切線;

      (3)切點N是漸開線上K點的曲率中心,NK是漸開線上K點的曲率半徑。離基圓越近,曲率半徑越小,如圖6.2a所示,N1K1﹤N2K2;

      (4) 漸開線的形狀取決于基圓的大小。如圖6.2b所示,基圓越大,漸開線越平直,當基圓半徑無窮大時,漸開線為直線;

      (5) 基圓內無漸開線。

      三、漸開線方程

      如圖6.2a所示,漸開線上任一點K的位置可用向徑rk和展角?K來表示。若以此漸開線作為齒輪的齒廓,當兩齒輪在K點嚙合時,其正壓力方向沿著K點的法線(NK)方向,而齒廓上K點的速度垂直于OK線。K點的受力方向與速度方向之間所夾的銳角稱為壓力角aK,由圖可知∠NOK=ak。由可見,漸開線齒廓上各點的壓力角值不同,在△NOK中可得出

      漸開線方程

      上式表明,θk隨壓力角ak而改變,稱θk為壓力角ak的漸開線函數,記作inv ak,即θk=inv ak=tan ak–ak, θk以弧度(rad)度量。工程上已將不同壓力角的漸開線函數inv  ak的值列成表格(表6.2)以備查用。

      表6.2 漸開線函數 inv ak=tan ak–ak

      ak(0) 0′5′10′15′20′25′30′35′40′45′50′55′
      100.00179411839718860193321981220299207952129921810223302285923396
      110.00239412449525057256282620826797273942800128616292412987530518
      120.00311713183232504331853387534575352853600536735374743822438984
      130.00397544053441325421264293843760445934543746291471574803348921
      140.00498195072951650525825352654482554485642757417584205943460460
      150.00614986254863611646866577366873679856911070248713987256173738
      160.0074930761307735078570798208107082340836208492086230875608889
      170.0090250916109299094390958009722098661001210158103071045610608
      180.0107601091511071112281138711547117091187312038122051237312543
      190.0127151288813063132401341813598137791396314148143341452314713
      200.0149041509815293154901568915890160921629616502167101692017132
      210.0173451756017777179961821718440186651889119120193501958319817
      220.0200542029220533207752101921266215142176522018222722252922788
      230.0230492331223577238452411424386246602493625214254952577826062
      240.0263502663926931272252752127820281212842428729290372934829660
      250.0299753029330613309353126031587319173224932583329203326033602
      260.0339473429434644349973535235709360693643236798371663753737910
      270.0382873866639047394323981940209406024099741395417974220142607
      280.0430174343043845442644468545110455374596746400468374727647718
      290.0481644861249064495184997650437509015136851838523125278853268
      300.0537515423854728552215571756217567205722657736582495876559285
      310.0598096033660866614006193762478630226357064122646776523665799
      320.0663646693467507680846866569250698387043071026716267223072838
      330.0734497406474684753077656576565772007783978483791307978180437
      340.0810978176082428831008445784457851428583286525872238792588631
      350.0393429005890777915029296392963937019444395190959429669897459
      360.0098220989909977100551021210212102921037110452105331061410696
      370.107781086110944110281119711197112831136911455115421163011718
      380.118061189511985120751225712257123481244112534126271272112815
      390.129111300613102131991339513395134931359213692137921389313995
      400.140971420014303144071461614616147221482914936150431515215261
      410.153701548015591157031592815928160411615616270163861650216619
      420.167371685516974170931733617336174571757917702178261795118076
      430.182021832918457185851884418844189751910619238193711950519639
      440.197741991020047201852046320463206032074320885210282117121315
      450.214602160621753219002219822198223482249922651228042295823112
      460.232682342423582237402405924059242202438224545247092487425040
      470.252062537425543257132605526055262282640126575267522692927107
      480.272852746527646278282819628196283812856728755289432913329324
      490.295162970929903300983049230492306913089131092312953149831703
      500.319093211632324325343295732957331713338533601338183403734257
      510.344783470034924351493560435604358333606336295365293676336999
      520.372373747637716379583844638446386933894139190394413969339947
      530.402024045940717409774150241502417674203442302425714284343116
      540.433904366743945442254478944789450744536145650459404623246526
      550.468224711947419477204832848328486354894449255495684988250199
      560.505185083851161514865214152141524725230553141534785381754159
      570.545035484955197555475625556255566125697257333576985806458433
      580.588045917859554599336069760697610836147261863622576265363052
      590.634546385864265646746550165501659196634066763671896761868050

      四、漸開線齒廓的嚙合特點

      一對齒輪傳動是靠主動輪齒廓依次推動從動輪齒廓來實現的。兩輪的瞬時角速度之比稱為傳動比。在工程中要求傳動比是定值。

      傳動比

      通常主動輪用“I”表示,從動輪用“2”表示。w1為主動輪的角速度,w2為從動輪的角速度,在一般情況下為降速的,故i>1。上式中i12只表示其大小,而不考慮兩輪的轉動方向。

      嚙合特性如下所述:

      漸開齒的嚙合

      1、四線合一

      如圖6.3所示,一對漸開線齒郭在任意點K嚙合,過K點作兩齒廓的公法線N1、N2,根據漸開線性質,該公法線就是兩基圓的內公切線。當兩齒廓轉到K′點嚙合時,過K′點所作公法線也是兩基圓的公切線。由于齒輪基圓的大小和位置均固定,公法線nn是唯一的。因此不管齒輪在哪一點嚙合,嚙合點總在這條公法線上,該公法線也可稱為嚙合線。由于兩個齒輪嚙合傳動時其正壓力是沿著公法線方向的,因此對漸開線齒廓的齒輪傳動來說,嚙合線、過嚙合點的公法線、基圓的內公切線和正壓力作用線的四線合一。該線與連心線0102的交點P是一固定點,P點稱為節點。

      2、中心距可分性

      如圖6.3所示,分別以輪心0102為圓心,以r′1=01P與r′2=02P為半徑所作的圓,稱為節圓。一對漸開線齒輪的嚙合傳動可以看作兩個節圓的純滾動,且up1=up2。設齒輪1、齒輪2的角速度分別為w1和w2,則

      up1=w01P=up2=w02P

      從圖6.3中可知,△01PN1~02PN2,所以兩輪的傳動比為

      兩輪的傳動

      由上式可知漸開線齒輪的傳動比是常數。齒輪一經加工完畢,基圓大小就確定了,因此在安裝時若中心距略有變化也不會改變傳動比的大小,此特性稱為中心距可分性。該特性使漸開線齒輪對加工、安裝的誤差及軸承的磨損不敏感,這一點對齒輪傳動十分重要。

      3、嚙合角不變

      嚙合線與兩節圓公切線所夾的銳角稱為嚙合角,用a′表示,它就是漸開線在節圓上的壓力角。顯然齒輪傳動時嚙合角不變,力作用線方向不變。若傳遞的扭矩不變,其壓力大小也保持不變,因而傳動較平穩。

      4、齒面的滑動

      如圖6.3所示在節點嚙合時,兩個節圓作純滾動,齒面上無滑動存在。在任意點K嚙合時,由于兩輪在K點的線速度(uk1、uk1)不重合,必會產生沿著齒面方向的相對滑動,造成齒面的磨損等。

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